Fisarmonica e pianoforte: funzione di risposta dei meccanismi di selezione delle frequenze (1 ͣ parte)

Possiamo definire – in via del tutto generica – una funzione di riposta come quella che associa ad un segnale di input (I) un determinato segnale di output (O). L’approssimazione più importante della funzione di riposta è la cosiddetta riposta lineare. In generale potremo perciò scrivere:

0 = Z ⋅ I          1)

in cui Z è la riposta lineare del sistema e prende il nome di Impedenza del Sistema. In generale, l’impedenza ha come effetto quello di produrre un’attenuazione e uno sfasamento del segnale di ingresso.

Ciò premesso, vogliamo determinare – dato un certo “impianto fonico e acustico di uno strumento” – la funzione di risposta dei meccanismi di selezione delle frequenze (tastiera/bottoniera e registri). A tal proposito rivolgeremo la nostra attenzione al pianoforte e alla fisarmonica. In pratica, per questi due strumenti, di cui si dà per scontata la conoscenza delle caratteristiche foniche e acustiche, vogliamo determinare come il meccanismo di selezione delle frequenze (tastiera/bottoniera e registri) associa ad un dato input il relativo output, essendo in questo caso l’input la nota selezionata dal suonatore attraverso la tastiera/bottoniera e i registri e l’output la frequenza restituita dal meccanismo che fa capo alla tastiera/bottoniera stessa. La frequenza restituita dal meccanismo di selezione delle frequenze può – a seconda del tipo di strumento (pianoforte/fisarmonica) – coincidere o meno con quella suonata dall’esecutore. Il meccanismo di selezione delle frequenze di questi due strumenti mette in relazione le dita del musicista con gli elementi vibranti (corde e/o ance) dello strumento.

Non sempre il meccanismo di selezione delle frequenze esiste materialmente. Ad esempio negli archi, che dispongono di quattro corde pre-accordate, tale meccanismo non c’è; infatti, è il suonatore che intervenendo di volta in volta direttamente sull’elemento vibrante (corda) con le proprie dita – variandone la lunghezza (accorciandola) – determina la frequenza della nota selezionata. Nel pianoforte, nella fisarmonica, ecc. a tale scopo esistono, invece, tastiere e/o bottoniere che agiscono, attraverso un meccanismo più o meno complesso, su un insieme di corde o ance preventivamente accordate.

Iniziamo ad esaminare quello che secondo noi è il caso più “semplice” e cioè quello del pianoforte. Com’è facile verificare, il meccanismo di selezione delle frequenze del pianoforte, costituito dalla tastiera, nonostante la sua complessità meccanica associa alla nota suonata dall’esecutore esattamente la frequenza ad essa corrispondente; tanto per capirci, se l’esecutore abbassa il tasto corrispondente al LA3, il meccanismo risponde selezionando esattamente la frequenza corrispondente al tasto abbassato e cioè: 440 Hz. Il pianoforte, parlando in termini “organistici”, è uno strumento che “possiede” solo e soltanto il registro da 8’; quest’ultimo è un registro che associa alla nota selezionata esattamente la frequenza ad essa corrispondente o, in alternativa alla nota suonata, quella segnata in partitura: per esempio,  LA3 -> 440 Hz -> LA3 nota segnata nel secondo spazio della chiave di violino.

Indicando perciò con x la variabile indipendente – ovverosia la frequenza selezionata dal musicista quando abbassa un qualsiasi tasto del pianoforte – e con y la variabile dipendente, cioè la frequenza selezionata dal meccanismo che fa capo alla tastiera stessa, potremo scrivere la seguente equazione:

y8(x) = x          2) ∗

nella quale x rappresenta – come detto – il valore della frequenza selezionata dall’esecutore tramite l’abbassamento di un qualsiasi tasto della tastiera del pianoforte (fig. 1).

La 2) rappresenta – nel piano x, y – l’equazione di una retta uscente dall’origine degli assi cartesiani e avente coefficiente angolare m pari ad uno, è perciò una retta inclinata di 45° (π/4) rispetto all’asse delle ascisse (ordinate). In definitiva, la funzione di risposta della tastiera del pianoforte è una retta uscente dall’origine degli assi cartesiani ed inclinata di 45° rispetto all’asse delle ascisse (ordinate).
Da notare che nel caso del pianoforte esiste una perfetta corrispondenza biunivoca tra quanto selezionato dall’esecutore e quanto “restituito” dal meccanismo di selezione delle frequenze.

* la 2) rappresenta l’equazione esplicita della retta: y(x) = m ⋅ x + q   dove m rappresenta il coefficiente angolare della retta e q il segmento “staccato” della stessa sull’asse delle ordinate.

** Data una funzione y = f(x) essa si dice biunivoca quando ad un valore della variabile indipendente x associa uno ed un solo valore della variabile dipendente y e viceversa.

*** la funzione di risposta di cui all’equazione 2) poteva essere tracciata anche per punti ricorrendo all’equazione per due punti della retta. Consideriamo due punti P1 e P2 del piano x, y: P1 = (440, 440) e P2 = (880, 880) ricordando l’espressione dell’equazione per due punti della retta:

Si ottiene:

– In termini di impedenza possiamo dire che la costante Z in questo caso vale uno.